Квадратные уравнения#

Определение#

Квадратным называется уравнение вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a \neq 0\).

Способы решения#

Удачные случаи#

Если \(b = 0\) или \(с = 0\) не нужны специальные приемы для решения такого уравнения.

• \(b = 0\):
  

  • Если \(c > 0\), то решений нет
    

  • Если \(c \le 0\):
    

    \(\begin{array}{ll} \sqrt{a}x^2 - c = 0 \iff \\ (\sqrt{a}x - \sqrt c)(\sqrt{a}x + \sqrt c) = 0 \iff \\ \left[\begin{array}{lr} \sqrt{a}x - \sqrt c = 0 \\ \sqrt{a}x + \sqrt c = 0 \end{array}\right. \iff \\ \sqrt{a}x = \pm \sqrt c \iff \\ x = \pm \frac{\sqrt c}{\sqrt a} \iff \\ x = \pm \sqrt \frac{c}{a} \end{array}\)

• \(с = 0\):
  

  \(\begin{array}{ll} ax^2 + bx = 0 \iff \\ x(ax + b) = 0 \iff \\ \left[\begin{array}{lr} x = 0 \\ ax + b = 0 \end{array}\right. \iff \\ \left[\begin{array}{lr} x = 0 \\ ax = -b \end{array}\right. \iff \\ \left[\begin{array}{lr} x = 0 \\ x = -\frac{b}{a} \end{array}\right. \iff \\ \end{array}\)

Остальные случаи#

В случае если \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) и \(с \neq 0\) можно использовать следующие теоремы:

• Теорема о решении квадратных уравнений (дискриминант)
• Теорема Виета

Над статьей работали:

• Лавелин Михаил (Тг): редактор

Выражаем благодарность:

• Олегу Вадимовичу, за конспект для данной статьи