Теорема Виета
Формулировка
Числа x1, x2 тогда и только тогда являются корнями квадратного уравнения, когда для них выполняются, следующие соотношения.
\(\begin{cases} x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \\ x_1 * x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}\)
Доказательство
Прямое утверждение
Если x1, x2 - корни, то выполняется соотношения.
Пусть
\(\begin{array}{ll} x_1 = - \frac{b + \sqrt D}{2a} \\ x_2 = - \frac{b - \sqrt D}{2a} \\ \end{array}\)
Тогда
\(\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt D - \sqrt D - b}{2a} = - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}\\ x_1 * x_2 = \frac{(-b + \sqrt D) (-b - \sqrt D)}{4a^2} = \frac{b^2 - D}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \\ \end{cases}\)
Обратное утверждение
Если выполняется соотношения, то x1, x2 - корни.
Рассмотрим выражение \(a(x - x_1)(x - x_2)\).
\(\begin{array}{ll} a(x - x_1)(x - x_2) = \\ a(x^2 - x(x_1 + x_2) + x_1x_2) = \\ a(x^2 + x \frac{b}{a} + \frac{c}{a}) = \\ ax^2 + bx + c \\ \end{array}\)
x1, x2 - корни уравнения \(a(x - x_1)(x - x_2) = 0\) (обращают его в ноль).
А значит и корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители (следствие)
Формулировка
Если квадратное уравнение имеет два корня, то верно равенство \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Доказательство
См. Доказательство обратного утверждения теоремы Виета
Над статьей работали:
- Лавелин Михаил (Тг): редактор
Выражаем благодарность:
- Олегу Вадимовичу, за конспект для данной статьи