Свойство биссектрисы треугольника Формулировка Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон
Доказательство Доказать, что \(\frac{a}{b} = \frac{x}{y} (\) или \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y})\) 1 cпособ Сделаем дополнительное построение
BO || CD ; O ∈ [AC ) \(\angle CBO = \angle DCB\) накрест-лежащие; \(\angle COB = \angle DCB\) соответсвенные, значит \(\angle COB = \angle CBO\) . Тогда △BCO - равнобедренный по признаку, следовательно |CB | = |CO |
По теореме Фалеса:
\(\begin{array}{ll} \frac{|AC|}{|CO|} = \frac{|AD|}{|DB|} \iff \\ \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \iff \\ \frac{a}{x} = \frac{b}{y} \end{array}\)
Что и требовалось доказать
2 cпособ Проведем высоты из точки D к сторонам a и b , из точки C к стороне AB
Площадь треугольника равна полупроизведению основания на высоту. У треугольников △CDA и △CDB высота СH общая, тогда \(\frac{x}{y} = \frac{S(△CDA)}{S(△CDB)}\)
Из характеристического свойства биссектрисы угла, D равноудалена от AC и BC , то есть |DH \(_a\) | = |DH \(_b\) |. Аналогично получаем \(\frac{S(△CDA)}{S(△CDB)} = \frac{a}{b}\) , значит \(\frac{a}{b} = \frac{x}{y}\) , что и требовалось доказать
3 способ
\(\angle\) ADC и \(\angle\) CDB - смежные, а значит их синусы равны
\(\angle\) ACD и \(\angle\) DCB - равные, а значит их синусы равны
Пусть d = CD
\(S(△ACD) = \frac{1}{2} \cdot xd \cdot \sin \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot ad \cdot \sin \angle ACD \Rightarrow\) \(x \cdot \sin \angle ADC = a \cdot \sin \angle ACD \iff\) \(\frac{a}{x} = \frac{\sin \angle ADC}{\sin \angle ACD}\)
Аналогично
\(S(△BCD) = \frac{1}{2} \cdot yd \cdot \sin \angle BDC = \frac{1}{2} \cdot bd \cdot \sin \angle BCD \Rightarrow\) \(y \cdot \sin \angle BDC = b \cdot \sin \angle BCD \iff\) \(\frac{b}{y} = \frac{\sin \angle BDC}{\sin \angle BCD} \iff\) \(\frac{b}{y} = \frac{\sin \angle ADC}{\sin \angle ACD} = \frac{a}{x}\)
