Теорема Бояй-Гервина#

Определения#

Для форулировки данной теоремы необходимо ввести следующие определния:

Равновеликими называются фигуры с одинаковой площадью

Если взять одну из двух фигур, определенным образом разрезать её на конечное количество частей и из этих частей собрать вторую фигуру, то эти фигуры будут называться равносоставленными

Формулировка#

То, что 2 многоугольника являются равносоставленными необходимо и достаточно для того, чтобы они являлись равновеликими

Доказательство#

Прямое утверждение достаточно очевидное и доказывается свойством площадей. Для доказательства обратного потребуются большие усилия

Лемма 1#

Любому треугольнику можно сопоставить равносоставленный с ним параллелограмм

Для этого достаточно вспомнить дополнительное построение к теореме о средней линии треугольника

Лемма 2#

Каждому параллелограмму соответствует равносоставленный с ним прямоугольник

Для этого из большего угла параллелограмма \(\angle D\) и соотвественного с ним \(\angle С\) опустим высоты к противоположному основанию. Тогда прямоугольник EFCD - равносоставленный с параллелограммом ABCD

Лемма 3 (транзитивность)#

Если:

Ф~1 и Ф~2 равносоставленные Ф~2 и Ф~3 равносоставленные

то

Ф~1 и Ф~3 равносоставленные

Действительно, сначала разрежем 2ю фигуру так, чтобы из этих кусочков можно было собрать 1ю, а потом, не двигая эти кусочки, разрезать их, чтобы получить 3ю фигуру. Тогда и 1я и 2я будут состоять из более мелких, чем изначально, кусочков 2й фигуры

Лемма 4#

Два параллелограмма с равным основанием и высотой, проведенной к этому основанию - равносоставленные

Для доказательства сделаем дополнительное построение: проведем полосу, с данной высотой. На одной из параллельных прямых отложим несколько отрезков, равных основанию параллеллограмма и на каждом из них построим 2 данных паралеллограмма

Далее, пользуясь параллельными прямыми, нетрудно доказать, что они состоят из одинаковых фигур

Лемма 5#

Равновеликие прямоугольники равносоставленные

Пусть нам даны прямоугольники равной площади ABCD и ANMK и сторона a прямоугольника ANMK самая длинная.

Возмьем прямоугольник ABCD (т. к. его стороны не самые длинные), построим из него полосу. Теперь, построим точку K, лежащую на (CD), удаленную от точки A на расстояние, равное a. Это возможно, т. к. a больше чем высота AD.

Теперь построим параллелограмм ABHK. Он и ABCD - равносоставленные в силу 4 леммы.

Теперь мы перестроим параллелограм в прямоугольник ANMK по алгоритму из 2й леммы, и, поскольку AK - большая, то высота останется такой же. Поскольку получившиеся прямоугольники ABCD и ANMK равносоставленные в силу транзитивности, значит их площади равны.

Тогда AN равна S(ABCD) / a, что равно стороне исходного прямоугольника.

Финальный шаг#

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники

Каждому треугольнику соответствует равносоставленный с ним параллелограмм (Лемма 1). Кажому параллелограмму соответсвует равносоставленный с ним прямоугольник

Все прямоугольники можно привести к общей стороне (каждому прямоугольнику соответствует равносоставленный с ним прямоугольник с заданной стороной)

Путем равносоставления фигур мы разбили многоугольники на прямоугольники. Прямоугольники, полученные из обоих фигур, мы привели к общей стороне, и составили из них 2 больших прямоугольника (1й получен из 1й фигуры, 2й из 2й)

Эти прямоугольники равносоставленны с исходными фигурами, значит их площади равны, но если их площади равны, и одна из сторон равна, то, поскольку S = ab, другие стороны тоже равны. Значит эти фигуры равны

Пользуясь транзитивностью мы получаем, что исходные фигуры равносоставленные

Над статьей работали:

• Чухалёнок Алексей (Тг): редактор
• Валентин Андреевич (Страничка в тридцатке): магистр-джедай

Выражаем благодарность:

• Болтянскому В. Г. (Wiki), за хорошое доказательство
• Фаркашу Бояй, а так же Офицеру Гервину за саму теорему

Источники:

• Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — 1956