Теорема Пифагора#

Заметка

Данная теорема была помечена как судьбоносная несколькими учителями тридцатки

Заметка

В этой статье представлены самые простые способы доказательства

Формулировка#

В прямоугольном, и только в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

Доказательство#

Данный треугольник — Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой c, катетами a и b

Прямое утверждение#

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

1 способ#

Сделаем дополнительное построение

Треугольники △AKL, △BMK, △CNM и △DLN равны по 2м катетам

KMNL тоже квадрат, поскольку острые углы в прямоугольном треугольнике в сумме дают 90° и все стороны равны c

С одной стороны площадь ABCD равна произведению его сторон

\(\begin{array}{ll} (a + b)^2 = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + 2ab + b^2 \end{array}\)

С другой стороны равна сумме площадей фигур, из которых он состоит

\(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot ab + c^2\)

Подставим

\(\begin{array}{ll} a^2 + 2ab + b^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot ab + c^2 \iff \\ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \iff \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{array}\)

2 способ (доказательство Гарфилда)#

Сделаем дополнительное построение

Треугольники △ABK, △DKC равны по 2м катетам

\(\angle\)BKC = 90° т. к. острые углы треугольника в сумме равны 90°

С одной стороны площадь ABCD равна произведению полусуммы оснований на высоту

\((a + b) \cdot \frac{a + b}{2} = \frac{(a + b)^2}{2}\)

С другой стороны равна сумме площадей фигур, из которых она состоит

\(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot ab + \frac{1}{2} \cdot c \cdot c = \frac{c^2 + 2ab}{2}\)

Подставим

\(\begin{array}{ll} \frac{(a + b)^2}{2} = \frac{c^2 + 2ab}{2} \iff \\ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \iff \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{array}\)

3 способ#

Сделаем дополительное построение

KIJL тоже квадрат, поскольку все его углы смежные с углами 90° и все стороны равны a - b

С одной стороны площадь ABCD равна произведению его сторон \(c^2\)

С другой стороны равна сумме площадей фигур, из которых она состоит

\(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot ab + (b - a)^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 2ab = a^2 + b^2\)

Получается

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Теорема, обратная теореме Пифагора#

Если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется \(c^2 = a^2 + b^2\), то угол напротив c - прямой

Обратная теорема

Предположим что это не так: \(\angle C \neq 90^\circ\)

Тогда построим треугольник △\(A_1 B_1 C_1\) так, чтобы \(\angle C_1 = 90^\circ; |B_1 C_1| = a; |A_1 C_1| = b\). Тогда \(|A_1 C_1| = \sqrt{a^2 + b^2} = |AC|\)

△ABC = △\(A_1 B_1 C_1\) по трем сторонам, но тогда \(\angle C = 90^\circ\) - противоречие

Над статьей работали:

Чухалёнок Алексей (Тг): редактор
Валентин Андреевич (Страничка в тридцатке): магистр-джедай

Выражаем благодарность:

Пифагору (Wiki), за эту шедевро-теоремку
Джеймсу Гарфилду (Wiki), за одно из доказательств этой теоремы