Теорема о медианах треугольника#

Определение#

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны

Формулировка#

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в соотношеии \(\frac{2}{1}\) считая от вершины

Доказательство#

1 способ#

AA₁ и BB₁ - медианы

Дополнительное построение#

Пусть A₂ - середина AO, B₂ - середина BO

A₁B₁ - по определению, средняя линия треугольника △ABC, значит она равна \(\frac{AB}{2}\) и параллельна основанию
A₂B₂ - по определению, средняя линия треугольника △ABO, значит она равна \(\frac{AB}{2}\) и параллельна основанию

Тогда |A₁B₁| = |A₂B₂| и A₁B₁ || A₂B₂, значит A₁B₁A₂B₂ - параллелограмм по признаку

По свойству параллелограмма |A₁O| = |A₂O|; |B₁O| = |B₂O|. Следовательно |AO| = 2|A₁O|; |BO| = 2|B₁O|

Аналогично доказывается для AA₁ и CC₁; BB₁ и CC₁

2 способ#

AA₁ и BB₁ - медианы

Дополнительное построение#

M ∈ AB: A₁M || BB₁

По теореме Фалеса \(\frac{|B_1M|}{|MC|} = \frac{|BA_1|}{|A_1C|} = \frac{1}{1}\). Если |BA₁| = x, то |MC| = x, а |AB₁| = 2x

По теореме Фалеса \(\frac{|AO|}{|OA_1|}= \frac{|AB_1|}{|B_1M|} = \frac{2x}{x} = \frac{2}{1}\)

Аналогично доказывается для AA₁ и CC₁; BB₁ и CC₁

Над статьей работали:

• Чухалёнок Алексей (Тг): редактор
• Валентин Андреевич (Страничка в тридцатке): магистр-джедай