Теорема о решении квадратных уравнений (дискриминант)#

Формулировка#

Имеется квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a \neq 0\).
Пусть \(D = b^2 - 4ac\).

Тогда утверждается, что если:

\(D < 0\): уравнение не имеет решений
\(D = 0\): уравнение имеет ровно одно решение:
- \(x = - \frac{b}{2a}\)
\(D > 0\): уравнение имеет ровно два решения:
- \(x_1 = - \frac{b + \sqrt{D}}{2a}\)
- \(x_2 = - \frac{b - \sqrt{D}}{2a}\)

Доказательство#

\(\begin{array}{ll} ax^2 + bx + c = 0 \iff \\ x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = 0 \iff \\ x^2 + 2 \frac{b}{2a} x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0 \iff \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}) = 0 \iff \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \iff \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{D}{4a^2} = 0 \\ \end{array}\)

\(D < 0\):
Сумма неотрицательного \((x + \frac{b}{2a})^2\) и положительного (\(\frac{-D}{4a^2}\)) числа не может быть равна нулю.
\(D = 0\):

\(\begin{array}{ll} (x + \frac{b}{2a})^2 = 0 \iff \\ x + \frac{b}{2a} = 0 \iff \\ x = -\frac{b}{2a} \end{array}\)
\(D > 0\):

\(\begin{array}{ll} (x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{D}}{2a})(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{D}}{2a}) = 0 \iff \\ (x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{D}}{2a})(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{D}}{2a}) = 0 \iff \\ \left[\begin{array}{lr} x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{D}}{2a} = 0 \\ x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{D}}{2a} = 0 \end{array}\right. \iff \\ \left[\begin{array}{lr} x = - \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{D}}{2a} \\ x = - \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{D}}{2a} \end{array}\right. \iff \\ \left[\begin{array}{lr} x = - \frac{b + \sqrt{D}}{2a} \\ x = - \frac{b - \sqrt{D}}{2a} \end{array}\right. \iff \\ x = - \frac{b \pm \sqrt{D}}{2a} \end{array}\)

Над статьей работали:

Лавелин Михаил (Тг): редактор

Выражаем благодарность:

Олегу Вадимовичу, за конспект для данной статьи