Геометрическое место точек из которых данный отрезок виден под данным углом#

1 случай: прямой угол#

На отрезке построим окружность, как на диаметре

Тогда для любой произвольной точки C на этой окружности, кроме точек A и B, ∆ABC - прямоугольный по признаку (медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине)

2 случай: острый угол#

В таком случае из точки A построим угол \(\angle CAB = 90° - α\), при этом точка C такая что CB ⊥ AB. Построим окружность на AC, как на диаметре, и выберем большую дугу ◡AB. С другой стороны AB сделаем аналогичное построение

Для любой точки D, лежащей на больших дугах ◡AB, не являющейся точками A или B, \(\angle D = \angle C\), т. к. они - вписанные углы и опираются на одну и ту же хорду. При этом меньшие дуги ◡AB не будут подходить, ведь предыдущее утверждение будет верным только для углов, лежащих по одну сторону от хорды AB, в противном случае эти углы в сумме будут составлять 180°. Этим мы и воспользуемся для следующего случая

3 случай: тупой угол#

Как и говорилось, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду или равны, или в сумме составляют 180°. В предыдущем случае мы создавали равные углы, в этом случае поступим иначе и вместо больших дуг, возьмем меньшие (опять же без точек A и B)

Доказательство, что других случаев нет#

Предположим, что есть такая точка D, которая не пренадлежит этому ГМТ, но при этом AB тоже виден из нее под углом α. Проведем прямую между концом отрезка и точкой D, она пересечется с нашим множеством точек. Тогда внешний угол треугольника будет равен внутреннему, несмежному с ним, что невозможно

Над статьей работали:

• Чухалёнок Алексей (Тг): редактор
• Валентин Андреевич (Страничка в тридцатке): магистр-джедай